AMM 自動做市商原理：x*y=k 的數學之美

AMM（Automated Market Maker，自動做市商）是一種不依賴傳統訂單簿的鏈上交易機制，使用者直接與流動性池進行代幣兌換。最經典的 AMM 模型就是 x*y=k 恆定乘積公式，它透過池中兩種資產的數量變化自動調整價格，讓買賣雙方不需要彼此匹配也能完成交易。

一、AMM 到底是什麼？

傳統中心化交易所通常採用訂單簿模式。

例如 ETH 當前市場價格為 3,000 USDT，使用者想買入 ETH，需要市場中存在願意以相應價格賣出 ETH 的訂單。交易所撮合系統負責尋找買賣雙方，並完成訂單匹配。

AMM 的邏輯完全不同。

它不會要求使用者先找到一個對應的賣家，而是把兩種資產存入一個流動性池（Liquidity Pool）。使用者交易時，實際上是在和這個池子進行交換。

例如一個 ETH/USDC 流動性池裡同時存在 ETH 和 USDC：

ETH + USDC → Liquidity Pool → Trader Swap

使用者用 USDC 買 ETH，池中的 USDC 增加、ETH 減少；使用者賣 ETH，則相反。

價格並不是由某個交易員手動設定，而是根據池子的資產數量和 AMM 公式自動變化。

這就是自動做市商的核心。

而 Uniswap 正是 AMM 最具代表性的應用之一。如果想進一步了解 AMM 最重要的實際應用，可以繼續閱讀 Uniswap 深度解析：DEX 王者的進化之路。

二、x*y=k 是什麼意思？

理解經典 AMM，最重要的公式就是：

x × y = k

其中：

• x = 流動性池中 Token A 的數量

• y = 流動性池中 Token B 的數量

• k = 恆定乘積

例如，一個 ETH/USDC 池中有：

• 10 ETH

• 30,000 USDC

那麼：

10 × 30,000 = 300,000

因此：

k = 300,000

當使用者買入 ETH 後，池中的 ETH 數量減少，而 USDC 數量增加。交易完成後，兩種資產的新數量需要滿足相應的恆定乘積關係。

這就是 AMM 自動調整價格的基礎。

需要注意的是，實際交易還會涉及手續費，因此嚴格的鏈上計算並不是簡單地把輸入數量直接代入 x*y=k。經典 Uniswap v2 模型會先考慮交易手續費，再計算使用者能夠得到多少 Token。

三、AMM 是怎麼透過數學公式自動定價的？

AMM 最有意思的地方就在這裡：

它不需要有人告訴池子「ETH 現在應該賣多少錢」，池子的資產比例本身就會形成價格。

繼續使用前面的例子。

池子裡：

10 ETH + 30,000 USDC

那麼交易前的簡單池內價格可以理解為：

30,000 ÷ 10 = 3,000 USDC/ETH

假設有人使用 USDC 買 ETH，池中的 ETH 數量下降。

如果交易後池中只剩下 9 ETH，那麼為了維持：

x × y = 300,000

USDC 數量就需要達到：

300,000 ÷ 9 ≈ 33,333 USDC

也就是說，隨著 ETH 被買走，池中 ETH 越來越少，而 USDC 越來越多，ETH 的池內價格就會不斷升高。

反過來，如果大量使用者賣 ETH，池中的 ETH 增多、USDC 減少，ETH 的池內價格則會下降。

因此可以把 AMM 的價格變化簡單理解為：

買得越多 → Token 在池中越稀缺 → 池內價格上升

賣得越多 → Token 在池中越充足 → 池內價格下降

這也是 AMM 與固定價格兌換最大的區別。

四、用一個實際例子看懂 x*y=k

假設有一個完全由兩種資產組成的模擬池：

• 10 ETH

• 30,000 USDC

• k = 300,000

現在使用者想使用 3,000 USDC 買 ETH。

為了便於理解，先忽略手續費。

交易之後，池中的 USDC 變成：

30,000 + 3,000 = 33,000 USDC

根據：

x × 33,000 = 300,000

得到：

x ≈ 9.09 ETH

原來池裡有 10 ETH，因此使用者大約得到：

10 - 9.09 = 0.91 ETH

使用者支付 3,000 USDC，得到約 0.91 ETH。

因此這筆交易的平均成交價格約為：

3,000 ÷ 0.91 ≈ 3,297 USDC/ETH

注意，交易開始前池內價格是 3,000 USDC/ETH，但使用者實際平均成交價格已經達到約 3,297 USDC/ETH。

這就是 AMM 中非常重要的概念：

交易本身會改變池子的價格。

而且交易規模越大，相對於池子流動性越大，價格影響通常越明顯。Uniswap 官方也明確將這種由交易規模相對於流動性深度造成的變化定義為 Price Impact。

以上計算為便於理解的假設示例，不代表任何實際市場報價。

五、為什麼流動性越深，大額交易通常越容易成交？

把 AMM 想像成一個水池。

一個小水池裡只有 10 ETH 和 30,000 USDC，如果有人突然拿 10,000 USDC 去買 ETH，對池子的影響會非常明顯。

但如果另一個池子裡有：

1,000 ETH + 3,000,000 USDC

同樣交易 10,000 USDC，佔整個池子的比例就非常小，價格受到的影響通常也會小很多。

所以 AMM 中存在一個非常重要的關係：

流動性越深 → 相同交易規模造成的價格影響通常越小

流動性越淺 → 相同交易規模造成的價格影響通常越大

這也是為什麼專業交易者不會只看某個 Token 的「當前價格」，還會關注對應交易池的流動性深度。

六、AMM 中的價格為什麼會不斷變化？

因為每一筆交易都會改變池子的資產比例。

假設：

10 ETH + 30,000 USDC

有人買走 ETH 後：

ETH ↓

USDC ↑

池子的 ETH/USDC 比例發生變化，新的價格也隨之產生。

如果連續很多使用者都買 ETH：

ETH ↓↓↓

USDC ↑↑↑

那麼 ETH 的池內價格就會持續上漲。

反過來，如果大量使用者賣 ETH：

ETH ↑↑↑

USDC ↓↓↓

ETH 的池內價格就會持續下降。

因此 AMM 並不存在一個永遠固定的價格。

更準確地說：

價格是池子狀態的即時結果。

這也是 AMM 與傳統固定報價系統之間的重要區別。

七、為什麼 AMM 的價格可以和外部市場不一樣？

這是很多新手第一次接觸 AMM 時容易產生的疑問。

假設某個 Token 在外部市場的價格是 100 USDT，但某個 AMM 池因為交易行為變化，池內隱含價格暫時變成了 103 USDT。

這種價格差異通常不會一直保持。

如果套利者發現：

DEX：103 USDT

其他市場：100 USDT

就可能在價格較低的市場買入，再在價格較高的市場賣出。

大量套利交易會改變 AMM 池中的資產比例，使池內價格逐漸向其他市場價格靠攏。

因此：

套利交易並不是 AMM 的異常現象，而是鏈上市場價格發現機制的重要組成部分。

當然，實際套利是否值得執行，還要考慮 Gas、交易手續費、滑點以及交易規模等成本。

八、AMM 的手續費從哪裡來？

AMM 不僅需要解決「怎麼交易」，還需要解決一個問題：

為什麼有人願意把自己的資產放進流動性池？

答案之一就是交易手續費。

流動性提供者，也就是 LP（Liquidity Provider），向池子提供資產，讓其他使用者可以進行交易。

每當交易發生，協議會按照對應池子的規則收取 Swap Fee，其中一部分或全部按照規則歸屬於活躍流動性提供者。不同 Uniswap 版本和具體池子的費率機制並不完全相同。

以經典 Uniswap v2 為例，其池子的基礎 Swap Fee 為 0.30%。當前協議費用機制已經發生變化，因此不能簡單地把「0.30% 全部都是 LP 收入」當作今天所有 v2 池的實際分配方式。

因此，理解 AMM 收益時應該區分：

交易者支付手續費

↓

協議按照規則處理手續費

↓

符合條件的 LP 獲得相應部分

手續費收入越高，並不意味著 LP 就一定盈利，因為 LP 同時承擔價格波動等風險。

九、為什麼提供流動性可能產生無常損失？

這是 AMM 中最容易被忽略的問題之一。

假設你向 ETH/USDC 池提供：

1 ETH + 3,000 USDC

此時 ETH = 3,000 USDC。

如果之後 ETH 大幅上漲，AMM 會透過交易自動調整池內 ETH 和 USDC 的比例。

當 ETH 價格不斷上漲時，套利者會持續買走池中的 ETH。

最終，你在池子裡的資產可能變成：

更少的 ETH + 更多的 USDC

也就是說，你提供流動性之後，資產組合會隨著市場價格變化自動發生調整。

如果此時把資產取出，再與「單純持有原始 ETH + USDC」的結果進行比較，就可能出現價值差異。

這就是無常損失（Impermanent Loss）。

因此：

LP 收到手續費 ≠ 一定獲得淨收益。

最終結果需要同時考慮：

手續費收入 + Token 價格變化 + 無常損失 + Gas 等成本

這也是 AMM 與單純持有資產最大的區別之一。

十、為什麼 Uniswap v3 不再是簡單的「整個池子都用 x*y=k」？

很多文章會把 AMM 簡化成：

x*y=k

這個理解對於學習經典 AMM 非常重要，但如果把它直接套到今天所有 AMM 上，就不夠準確。

Uniswap v2 採用的是經典的恆定乘積模型，而 Uniswap v3 引入了集中流動性（Concentrated Liquidity）。

簡單來說：

v2：

流動性分佈在整個價格範圍

v3：

LP 可以把流動性集中到自己選擇的價格區間

例如，LP 可以選擇一個特定價格範圍，在這個範圍內提供更密集的流動性。

這樣做的好處是提高資本效率，讓相同規模的資金能夠在有效價格範圍內提供更深的流動性。

但代價也很明顯：

LP 需要管理價格區間。

如果市場價格離開 LP 設置的區間，該部分流動性可能不再處於活躍交易範圍，因此也不會繼續按照正常方式產生交易手續費，直到價格重新進入相應範圍。

所以，現代 AMM 已經從簡單的「把兩種 Token 放進池子」發展成更加複雜的流動性管理系統。

十一、AMM 為什麼不僅僅是一條公式？

x*y=k 很重要，但它只是理解經典 AMM 的入口。

一個完整的 AMM 實際上至少包含：

Liquidity Pool

決定市場中有多少可交易資產。

Pricing Formula

決定資產如何根據池子狀態進行定價。

Swap Fee

決定交易者支付多少手續費，以及 LP 如何獲得收入。

Liquidity Provider

為交易提供流動性。

Arbitrage

幫助不同市場之間的價格重新趨於一致。

Smart Contract

負責按照預設規則執行交易。

因此，一次簡單的 AMM 交易實際上經歷的是：

使用者提交 Swap

↓

智能合約讀取 Pool 狀態

↓

根據定價機制計算輸出數量

↓

扣除相應費用

↓

更新池中資產比例

↓

形成新的池內價格

這套機制完全可以在鏈上自動執行，不需要傳統交易所人工撮合。

十二、AMM 與訂單簿模式有什麼區別？

兩種模式並不存在絕對的「誰更先進」。

AMM 的優勢是機制開放、自動化程度高，並且能夠讓使用者直接與鏈上流動性進行互動；訂單簿則能夠提供更精細的價格和訂單管理方式。

不同資產、不同市場環境下，兩種機制都有自己的適用場景。

十三、新手理解 AMM 最容易犯的 5 個錯誤

1. 認為 x*y=k 就代表價格永遠不變

實際上恰恰相反。

k 是恆定乘積，而 Token 的價格會隨著 x、y 的比例變化而變化。

2. 認為池子裡的價格就是整個市場的真實價格

AMM 只是一個市場。

不同 DEX、不同池子以及中心化交易平台之間都可能出現價格差異。

3. 認為流動性越多就一定沒有風險

流動性深可以降低某些交易的價格影響，但並不能消除智能合約、價格波動、無常損失等風險。

4. 認為 LP 收手續費就一定賺錢

LP 的最終結果需要同時考慮手續費收入和資產價格變化。

5. 認為所有 AMM 都使用完全相同的 x*y=k

經典 Uniswap v2 使用恆定乘積模型，但現代 AMM 已經發展出集中流動性、穩定幣曲線、加權池等不同設計。

十四、普通使用者如何判斷一個 AMM 池是否值得交易？

如果只是進行 Token Swap，可以先檢查以下幾個指標：

第一，看流動性。

池子越淺，大額交易產生明顯價格影響的可能性通常越高。

第二，看交易規模。

不要只看 Token 當前報價，還要看自己的交易金額佔池子流動性的比例。

第三，看 Price Impact。

如果一筆普通金額的交易已經產生非常高的 Price Impact，需要謹慎判斷池子深度是否足夠。

第四，看手續費。

不同 AMM、不同池子可能存在不同的手續費結構。

第五，看 Token 本身。

流動性池並不會自動保證 Token 是安全或有價值的。使用者仍然需要確認 Token 合約、項目來源以及交易限制。

第六，看最終交易條件。

交易提交前，需要確認預計獲得數量、最低獲得數量、Gas 和其他交易參數。

FAQ：AMM 常見問題

AMM 是什麼意思？

AMM 是 Automated Market Maker 的縮寫，即自動做市商。它透過智能合約和流動性池自動完成資產定價與交易，而不是依賴傳統訂單簿撮合。

x*y=k 為什麼能用來交易？

因為當使用者從池子中取出一種 Token 時，需要向池子加入另一種 Token，使池子的恆定乘積關係得到滿足。隨著兩種 Token 數量發生變化，池內價格也會自動變化。

AMM 中的 k 是什麼意思？

k 是恆定乘積模型中的不變量。在最基礎的模型中，x 和 y 分別代表池中兩種資產的數量，二者乘積形成 k。實際協議還需要結合手續費等規則進行計算。

為什麼交易金額越大，滑點或價格影響可能越高？

因為交易本身會改變流動性池中的資產比例。當交易金額相對於池子深度較大時，對池內價格造成的影響通常也更明顯。

提供 AMM 流動性一定能賺錢嗎？

不一定。LP 雖然可以根據池子規則獲得交易手續費，但同時需要承擔資產價格變化、無常損失、智能合約以及流動性等風險。

Uniswap v3 還是 AMM 嗎？

是。Uniswap v3 仍然屬於 AMM，但相比經典 v2，它採用集中流動性機制，讓 LP 可以選擇具體價格範圍，因此資金使用方式更加靈活，也更加複雜。

總結：x*y=k 是理解 AMM 的起點，而不是終點

AMM 最經典的數學表達式就是：

x × y = k

它用一個簡單的數學關係解決了一個複雜的問題：

沒有傳統訂單簿和人工撮合，鏈上使用者如何完成資產交易？

答案就是：

流動性池 + 定價公式 + 智能合約 + LP

使用者交易會改變池中的資產比例，資產比例變化又會改變價格；套利者進一步幫助不同市場之間的價格趨於一致；LP 則透過提供流動性獲得相應的手續費收入。

從 Uniswap v2 的經典恆定乘積模型，到 v3 的集中流動性，再到更新的 AMM 架構，AMM 已經從最初的簡單數學公式發展成複雜的鏈上交易基礎設施。

所以，真正理解 AMM，不應該只記住一句 「x*y=k」。

更重要的是理解完整關係：

流動性 → 定價 → 交易 → 價格影響 → 手續費 → 套利 → LP 收益與風險

掌握這條邏輯，才能真正看懂 DEX 中一筆交易為什麼會產生這樣的價格，也才能進一步理解 Uniswap 等主流 DEX 的運行機制。

風險提示： AMM 和 DeFi 相關操作可能涉及加密資產價格波動、流動性不足、智能合約漏洞、Token 合約風險、無常損失、交易執行偏差以及網絡費用等風險。本文僅用於區塊鏈技術和 DeFi 知識學習，不構成任何投資或交易建議。

以上計算為便於理解的假設示例，不代表任何實際市場報價。